כותרת: מה הקשר בין גרפים מרחיבים לבין מידות אינוריאנטיות על S^n?
תקציר: מידת לבג על הספירה S^n היא סיגמא-אדיטיבית ואינוריאנטית לסיבובים, וזה מאפיין אותה לחלוטין מבין המידות (המנורמלות) על S^n המוגדרות על כל הקבוצות המדידות-לבג. בעית בנך-רוזייביץ', מתחילת שנות ה-20, שואלת: מה לגבי מידות סוף-אדיטיביות? האם מידת לבג היא עדיין היחידה? בשנת 1923, בנך נתן תשובה שלילית למקרה של המעגל S^1. מה לגבי n\geq2? טרסקי עשה את הצעד הראשון לקראת הפתרון (בעזרת פרדוקס בנך-טרסקי!).
2. גרף סופי X הוא "\alpha-מרחיב" (\alpha>0) אם לכל תת-קבוצה U של עד מחצית מקודקודיו, כדי לנתק את U מהגרף צריך להסיר לפחות \alpha\cdot\left|U\right| קשתות (כלומר, X הוא גרף "מאוד קשיר"). סדרה של גרפים סופיים (הולכים וגדלים) היא "משפחה מרחיבה" אם כל גרף במשפחה הוא \alpha-מרחיב (אותו \alpha חיובי לכל המשפחה!). דוגמה טריויאלית למשפחה מרחיבה היא סדרת הגרפים המלאים הסופיים. שאלה: האם קיימת משפחה מרחיבה של גרפים דלילים? (בעלי מספר קשתות ליניארי במספר הקודקודים). בשנת 19733, פינסקר נתן תשובה חיובית לשאלת הקיום בכלים הסתברותיים, אך עדיין נותרה השאלה: האם ניתן לבנות במפורש משפחה כזאת?
בשנת 1975, מרגוליס נתן בניה מפורשת של משפחה מרחיבה דלילה. בשנת 1980 מרגוליס וסוליבן (כל אחד בנפרד) נתנו תשובה חיובית לבעית בנך-רוזייביץ' עבור n\geq4 (בהסתמך על רדוקציה של רוזנבלט מאותה השנה).
אז מה הקשר? הפתרונות לשתי הבעיות הם על-ידי מציאת חבורה מתאימה עם תכונה \text{\ensuremath{\left(T\right)}} של קשדן, מושג גיאומטרי בתורת ההצגות שקשדן הגדיר ב-1967 כדי לפתור בעיה שלישית ושונה לחלוטין! בהרצאה נגדיר את תכונה \text{\ensuremath{\left(T\right)}}, נסביר איך היא קשורה לבעיות האלה ואחרות, נספר על בעיות פתוחות, ואולי גם "נוכיח" כמה טענות בעזרת ציורים.
* בשנת 1984, דרינפלד נתן תשובה חיובית לבעית בנך-רוזייביץ' גם עבור n=2,3.
** יש ספר יפה של אלכס לובוצקי שמדבר על כל זה ועוד:
"Discrete Groups, Expanding Graphs and Invariant Measures".
לא נדרש ידע מוקדם מעבר לתואר ראשון.