check
סמינר תלמידי מחקר - אריאל דיוויס ואור קופרמן | מכון איינשטיין למתמטיקה

סמינר תלמידי מחקר - אריאל דיוויס ואור קופרמן

תאריך: 
ב', 14/03/202216:00-18:00
מיקום: 
חדר סגל - מנצ'סטר

 

הרצאה ראשונה 16-17

מרצה: אריאל דיוויס

כותרת: האנלוגיה בין קשרים ומספרים ראשוניים - מה הקשר?

אבסטרקט: ישנה אנלוגיה בין מספרים ראשוניים לבין קשרים. ההיסטוריה על רגל אחת:

השערות Weil עוסקות בספירת פתרונות למערכות משוואות פולינומיאליות מעל שדות סופיים. כשוייל ספר פתרונות למשוואות כאלה, הוא הבחין בתופעה עמוקה. כבר זמן מה לפני כן ידעו לתאר קבוצות אפסים של פולינומים כאובייקטים גאומטריים, ״יריעות אלגברית״, והנה יש תובנות בטופולוגיה אלגברית שיכולות להסביר את התופעה המספרית. אולם הטופולוגיה של אותן יריעות אלגבריות היא די גסה, ולא מתאימה לצרכים של וייל. כאן נכנסים Grothendieck ו- Serre שמפתחים את הטופולוגיה האטלית כדי לתת מענה לבעיה הזו. השם מטעה, כי זו לא בדיוק טופולוגיה, אלא הכללה של המושג של מרחב טופולוגי. באופן כללי, לכל חוג קומוטטיבי R עם יחידה אפשר לשייך אובייקט גאומטרי מסוים, ואותו לצייד עם טופולוגיה אטלית. בא Barry Mazur, התבונן במקרים R=\mathbb Z,\mathbb F_p והבחין שלאותן טופולוגיות יש מאפיינים של \mathbb R^3 (עבור R=\mathbb Z) ושל מעגל (עבור R=\mathbb F_p). למעשה עבור כל ראשוני p אפשר לדמיין שיכון של מעגל במרחב. וכך נולדה האנלוגיה בין קשרים וראשוניים.

שאלה מתבקשת היא, עד לאן אפשר לקחת את האנלוגיה הזו? האם יש תופעות מתחום אחד שאפשר לנבא מהתחום האחר על סמך זה? ובכן, את המושג של linking number מתורת הקשרים אפשר לפרש אריתמטית בתור אופן הפיצול של ראשוני p בהרחבה ריבועית מתאימה של \mathbb Q. מכאן חוק ההדדיות הריבועית מקבל פנים חדשות, כהתגלמות של משפט קלאסי של גאוס בתורת הקשרים. זו למעשה הייתה העדות הראשונה לזה שהאנלוגיה בין ראשוניים לקשרים היא גם מעניינת

 

בהרצאה נסקור בקצרה מהי ״טופולוגיית גרותנדיק״ בשביל מעט קונטקסט, ונתבונן מקרוב בתופעה של הדדיות ריבועית בהקשר הנ״ל.

--------------------------------------------------------------------------

הרצאה שנייה 17-18

מרצה: אור קופרמן

Title: Convexity Properties of Harmonic Functions on the Heisenberg Group 

Abstract: In this talk we will discuss the sub-Laplacian on the Heisenberg group with a focus on convexity properties of its L2-growth functions. We will compare our findings with the classical Euclidean case, and show a method to turn these analytical questions into algebraic/combinatorial ones. Finally we will show (or at least sketch) a proof for positivity of the growth function of a generic harmonic homogeneous polynomial.